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पूर्णांक क्लास 7 (Integers Class 7)
1) पूर्णांक संख्याएं, पूर्ण संख्याओं का विशाल भंडार होता है जिसमें धनात्मक पूर्ण संख्याएं एवं ऋणात्मक पूर्ण संख्याएं सम्मिलित होता है| Integer numbers are a huge storehouse of whole numbers which includes positive whole numbers and negative whole numbers.
2) पूर्णांक योग एवं ब्यवकलन द्वारा संतुष्ट होने वाले गुणों का अध्ययन किया।(Studied the properties satisfied by addition and subtraction.)
(a) पूर्णांक योग एवं ब्यवकलन दोनों के लिए संवृत है अर्थात a + b and a – b दोनों पुनः पूर्णांक है जहां a and b दोनों कोई भी पूर्णांक है। (Integers are closed for addition and subtraction both. That is, a + b and
a – b are again integers, where a and b are any integers.)
(b) पूर्णांकों के लिए योग क्रमविनिमेय है अर्थात सभी पूर्णांको a and b के लिए a + b = b + a होगा। (Addition is commutative for integers, i.e., a + b = b + a for all integers a and b.)
(c) पूर्णांकों के लिए योग साहचर्य है, अर्थात सभी पूर्णांकों a, b and c के लिए (a + b) + c = a + (b + c)(Addition is associative for integers, i.e., (a + b) + c = a + (b + c) for all integers a, b and c.)
(d) योग के अंतर्गत पूर्णांक शून्य तत्समक है अर्थात किसी भी पूर्णांक a के लिए a + 0 = 0 + a = a होता है।(Integer 0 is the identity under addition. That is, a + 0 = 0 + a = a for every integer a.) 3) हमने यह भी अध्ययन किया है कि पूर्णांकों को कैसे गुना किया जा सकता है और हमने पाया कि एक धनात्मक एवं ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल ऋणात्मक पूर्णांक होता है जबकि दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल सदैव धनात्मक पूर्णांक होता है। उदाहरण के लिए – 2 × 7 = – 14 and – 3 × – 8 = 24. (We studied, how integers could be multiplied, and found that product of a positive and a negative integer is a negative integer, whereas the product of two negative integers is a positive integer. For example, – 2 × 7 = – 14 and – 3 × – 8 = 24.
4). ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या सम होने पर उनका गुणनफल धनात्मक होता है जबकि यह संख्या विषम होने पर उनका गुणनफल ऋणात्मक होता है। (Product of even number of negative integers is positive, whereas the product of odd number of negative integers is negative.)
5) पूर्णांक गुणन के अंतर्गत कुछ गुणों को दर्शाते हैं। (Integers show some properties under multiplication.)
(a) गुणन के अंतर्गत पूर्णांक संवृत होते हैं; अर्थात किन्ही दो पूर्णांकों a and b के लिए a × b एक पूर्णांक होता है।(Integers are closed under multiplication. That is, a × b is an integer for any two integers a and b.)
(b) पूर्णांक को के लिए गुणन क्रमविनिमेय होता है अर्थात दो पूर्णांकों a and b के लिए a × b = b × a होता है Multiplication is commutative for integers. That is, a × b = b × a for any integers a and b.
(c) गुणन के अंतर्गत पूर्णांक 1, तत्समक है अर्थात किन्ही पूर्णांक a के लिए 1 × a = a × 1 = a. (The integer 1 is the identity under multiplication, i.e., 1 × a = a × 1 = a for any integer a.)
(d) पूर्णांकों के लिए गुणन सहचर्य होता है अर्थात किन्हीं तीन पूर्णांकों a, b and c के लिए (a × b) × c = a × (b × c)। (Multiplication is associative for integers, i.e., (a × b) × c = a × (b × c) for any three integers a, b and c.)6 योग एवं गुणन के अंतर्गत पूर्णांक एक गुण को दर्शाते हैं जिसे वितरण गुण कहा जाता है, अर्थात किन्हीं तीन पूर्णांकों a, b and c के लिए a × (b + c) = a × b + a × c. (Under addition and multiplication, integers show a property called distributive property. That is, a × (b + c) = a × b + a × c for any three integers a, b and c.)
7. योग एवं गुणन के अंतर्गत क्रमविनिमेयता, सहचारिता और वितरणता के गुण हमारे परिकलन को आसान बनाते हैं। (The properties of commutativity, associativity under addition and multiplication, and
the distributive property help us to make our calculations easier.)
8. हमने यह भी सीखा है कि पूर्णांकों को कैसे भाग दिया जाता है। हमने पाया कि:- (We also learnt how to divide integers. We found that,)
(a) जब एक धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से भाग दिया जाता है या जब एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से भाग दिया जाता है तो प्राप्त भागफल ऋणात्मक होता हैWhen a positive integer is divided by a negative integer, the quotient obtained is negative and vice-versa.
(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक को दूसरे ऋणात्मक पूर्णांक से भाग देने पर प्राप्त भागफल धनात्मक होता है। (Division of a negative integer by another negative integer gives positive as quotient.)
9. किसी भी पूर्णांक a के लिए हम पाते हैं कि (For any integer a, we have)
(a) a ÷ 0 परिभाषित नहीं है (is not defined)
(b) a ÷ 1 = a है