ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/ (बहुपद 2.2) 100%
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निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की पुष्टि कीजिए।
(i) x2 – 2x-8 (ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
प्रश्नानुसार 8 का गुणनखंड को हम इस तरह से सजाते हैं कि गुना करने पर -8 प्राप्त हो एवं जोड़्ने पर -2 और यह तभी सम्भव होगा जब गणनखण्ड होंगे -4 एवं +2 अतः
x2 – 2x-8 = x2 – 4x + 2x-8
x(x – 4) + 2(x – 4) = (x – 4)(x + 2)
प्रश्न में कहा गया है द्विघात बहुपदों के शून्यक स्थिति है अर्थात
(x – 4)(x + 2) = 0
अतः अगर (x – 4) = 0 तो x = 4
या अगर (x + 2) = 0 तो x = -2
x2 – 2x-8 के शून्यक 4 एवं – 2 है
इसकारण शून्यकों का जोड़ = +4 – 2 = 2
एवं शून्यकों का गुणनफल= (+4) X (-2) = – 8 होगा एवं सवाल में भी यही दिया गया है।
(ii) 4S2 – 4S + 1(ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
प्रश्नानुसार 4 का गुणनखंड को हम इस तरह से सजाते हैं कि गुना करने पर +4 प्राप्त हो एवं जोड़्ने पर -4 और यह तभी सम्भव होगा जब गणनखण्ड होंगे -2 एवं -2 अतः
4S2 – 4S + 1 = 4S2 – 2S – 2S + 1
2S(2S – 1) – 2(2S – 1) = (2S – 1)(2S – 1)
प्रश्न में कहा गया है द्विघात बहुपदों के शून्यक स्थिति है अर्थात
(2S – 1)(2S – 1) = 0
अतः अगर (2S – 1) = 0 तो S = 1/2
4S2 – 4S + 1 के शून्यक 1/2 एवं 1/2 है
इसकारण शून्यकों का जोड़ = (1/2) +(1/ 2) = 1
शून्यकों का गुणनफल = (1/2) X (1/ 2) = 1/4
(iii) 6x2 – 3 – 7x(ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
या 6x2 – 7x – 3
प्रश्नानुसार 6 X 3 = 18 का गुणनखंड को हम इस तरह से सजाते हैं कि गुना करने पर -18 प्राप्त हो एवं जोड़्ने पर -7 और यह तभी सम्भव होगा जब गणनखण्ड होंगे +9 एवं – 2 होगा अतः 6x2 – 7x – 3 = 6x2 – 9x + 2x -3
3x(2x – 3) +1(2x – 3) = (2x – 3)(3x + 1)
प्रश्न में कहा गया है द्विघात बहुपदों के शून्यक स्थिति है अर्थात
(2x – 3)(3x + 1) = 0
यदि (2x – 3) = 0 तो 2x = 3 या x = 3/2
या अगर (3x + 1) = 0 तो 3x = -1 या x = -1/3
6x2 – 7x- 3 के शून्यक + 3/2 एवं -1/3 है
इसकारण शून्यकों का जोड़ = +3/2 – 1/3 = 7/6
शून्यकों का गुणनफल = (3/2) X (-1/ 3) = -1/2
(iv) 4U2 +8U (ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
or 4U(U + 2)
प्रश्न में कहा गया है द्विघात बहुपदों के शून्यक स्थिति है अर्थात
4U(U + 2) = 0
यदि 4U = 0 तो U = 0/4 = 0
या अगर (U + 2) = 0 तो U = – 2
4U2 + 8U के शून्यक + 0 एवं -2 है
इसकारण शून्यकों का जोड़ = 0 – 2 = -2
शून्यकों का गुणनफल = (0) X (-2) = 0
(v) t2 – 15 (ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
(vi) 3x2 – x – 4 (ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
प्रश्नानुसार 3X4 का गुणनखंड को हम इस तरह से सजाते हैं कि गुना करने पर -12 प्राप्त हो एवं जोड़्ने पर -1 और यह तभी सम्भव होगा जब गुणनखण्ड होंगे -4 एवं +3अतः
3x2 – x – 4 = 3x2 – 4x + 3x – 4
x(3x – 4) + 1(3x – 4) = (3x – 4)(x + 1)
प्रश्न में कहा गया है द्विघात बहुपदों के शून्यक स्थिति है अर्थात
(3x – 4)(x + 1) = 0
अतः अगर (3x – 4) = 0 तो x = 4/3
या अगर (x + 1) = 0 तो x = -1
3x2 – x – 4 के शून्यक 4/3 एवं – 1 है
इसकारण शून्यकों का जोड़ = +4/3 – 1 = 1/3
शून्यकों का गुणनफल = (4/3) X (-1) =
– 4/3
प्रश्न 2 (ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
एक द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल क्रमशः
(i) 1/4 एवं – 1
माना उपरोक्त द्विघात ax2 + bx + c के form में है एवं इसके दो शून्यक क्रमशः α और β है जहाँ α + β = 1/4 = -b/a
एवं α X β = -1 = c/a
उपरोक्त से तुलना करने पर a = 4, b = -1, c = – 4
अतः उपरोक्त मान को रखने पर द्विघात समीकरण होगा
4x2 – x – 4
(ii) एक द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल क्रमशः
√2 एवं 1/3 (ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
माना उपरोक्त द्विघात ax2 + bx + c के form में है एवं इसके दो शून्यक क्रमशः α और β है जहाँ α + β = √2 = √2/1 = -b/a
एवं α X β = –1/3 = c/a
उपरोक्त से तुलना करने पर a = 3, b = -3√2, c = 1
अतः उपरोक्त मान को रखने पर द्विघात समीकरण होगा
3x2 – 3√2x + 1
(iii) एक द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल क्रमशः
0 एवं √5 (ncert-class-10-chapter-2-exercise-2-hindi/)
माना उपरोक्त द्विघात ax2 + bx + c के form में है एवं इसके दो शून्यक क्रमशः α और β है जहाँ α + β = 0 = 0/1 = -b/a
एवं α X β = √5 = √5/1 = c/a
उपरोक्त से तुलना करने पर a = 1, b = 0, c = √5
अतः उपरोक्त मान को रखने पर द्विघात समीकरण होगा
x2 – 0 X x + √5 = x2 + √5
(iv) एक द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल क्रमशः
1 एवं 1
माना उपरोक्त द्विघात ax2 + bx + c के form में है एवं इसके दो शून्यक क्रमशः α और β है जहाँ α + β = 1 = 1/1 = – b/a
एवं α X β = 1 = 1/1 = c/a
उपरोक्त से तुलना करने पर a = 1, b = –1, c = 1
अतः उपरोक्त मान को रखने पर द्विघात समीकरण होगा
x2 – x + 1
(v) एक द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल क्रमशः
–1/4 एवं 1/4
माना उपरोक्त द्विघात ax2 + bx + c के form में है एवं इसके दो शून्यक क्रमशः α और β है जहाँ α + β = -1/4 = – b/a
एवं α X β = 1/4 = c/a
उपरोक्त से तुलना करने पर a = 4, b = –1, c = 1
अतः उपरोक्त मान को रखने पर द्विघात समीकरण होगा
4x2 + x + 1
(vi) एक द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल क्रमशः
4 एवं 1
माना उपरोक्त द्विघात ax2 + bx + c के form में है एवं इसके दो शून्यक क्रमशः α और β है जहाँ α + β = 4 = 4/1= – b/a
एवं α X β = 1 = c/a
उपरोक्त से तुलना करने पर a = 1, b = –4, c = 1
अतः उपरोक्त मान को रखने पर द्विघात समीकरण होगा
x2 – 4x + 1