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प्रश्नावली 15.1

प्रश्न 1: निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए:
(i) घटना ‘E’ की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं की प्रायिकता =____है
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती है। ऐसी घटना‌‌‌‌‌‌‌ ‌‌____ कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है। ऐसी घटना _कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ____है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता__से बड़ी  या उसके बराबर होती है तथा__से छोटी या बराबर होती है।

उत्तर 1:
(i). घटना ‘E’ की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं की प्रायिकता = 1 है।
(ii). उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती है। ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है।
(iii). उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
(iv). किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।
(v). किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या बराबर होती है।

प्रश्न 2: निम्लिखित प्रयोगों में से किन – किन प्रयोगों के परिणाम सम्प्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।
(1) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य – असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लकड़ा है या एक लकड़ी है।

उत्तर 2: (i) जब ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। तो कार प्रायः चलना प्रारम्भ हो जाती है, यदि कार में कोई खराबी न हो। अतः यह सम्प्रायिक नहीं है।
(ii) खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं ये बातें खिलाड़ी पर निर्भर करती हैं। एक अच्छा खिलाड़ी अधिकतर बार बॉल बास्केट में डाल पाती है। अतः यह सम्प्रायिक नहीं है।
(iii) सत्य – असत्य प्रश्न का अनुमान लगाना सम्प्रायिक है क्योंकि इसमें दो ही विकल्प हैं और दोनों के चुनने के समान अवसर हैं।
(iv) जब बच्चे का जन्म होता है तो वह एक लकड़ा है या एक लकड़ी है दोनों के होने के समान अवसर हैं। अतः यह सम्प्रायिक है।

प्रश्न 3: फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछलना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

उत्तर 3: सिक्का उछलना एक न्यायसंगत विधि इसलिए माना जाता है क्योंकि सिक्के के तो ही पहलु होते हैं। चित या पट तथा दोनों की प्रायिकता समान है।

प्रश्न 4:निम्न्लिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A)2/3          (B) -1.5
(C) 15%       
(D) 0.7 4.

उत्तर 4: (B). -1.5 क्योंकि प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती। अर्थात 0 < P(E) < 1.

प्रश्न 5: यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं की प्रायिकता क्या है?

उत्तर 5: हम जानते हैं कि P(E) + P(नहींE) = 1, इसलिए 0.05 + P(नहींE) = 1 = P(नहींE) = 1 – 0.05 = 0.95

प्रश्न 6: एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियां हैं। मालिनी बिना थैले में झांके उसमे से एक गोली निकलती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली (1) संतरे की महक वाली है? (ii) नीबू की महक वाली है?

उत्तर 6: (1) थैले में संतरे की महक वाली मीठी गोलियां नहीं हैं इसलिए संतरे की गोली निकलना एक असंभव घटना है।
P(संतरे की महक वाली गोली) = 0
(ii) थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियां हैं इसलिए नीबू की गोली निकलना एक निश्चित घटना है।
P(नीबू की महक वाली गोली) = 1

प्रश्न 7: यह दिया हुआ है कि 3 विद्याथियों के एक समूह में से 2 विद्याथियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

उत्तर 7: हम जानते हैं कि P(E) + P(नहींE) = 1 इसलिए, P (2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो) + P (2 विद्याथियों के जन्मदिन एक दिन न हो) = 1 = P(2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो) + 0.992 = 1 = P (2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो) = 1 – 0.992 = 0.008

प्रश्न 8: एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदे हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

उत्तर8: लाल गेंदे = 3, काली गेंदे = 5, कुल गेंदे = 3 + 5 = 8

हम जानते हैं कि P(E) + P(नहींE) = 1
इसलिए, P (लाल गेंदे) + P (लाल गेंदे नहीं) = 1


 

प्रश्न 9: एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफ़ेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा (i) लाल है
(ii) सफ़ेद है
(iii) हरा नहीं है?

उत्तर : लाल कंचे 35 सफ़ेद कंचे =8 हरे कंचे =4 कुल कंचे = 5+8+4 = 17

प्रश्न 10: एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, ₹ 1 के पचास सिक्के हैं, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम सम्प्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (1) 50 पैसे का होगा? (ii) ₹5 का नहीं होगा?

उत्तर 10:
50 पैसे के सिक्के = 100

₹1 के सिक्के = 50
₹2 के सिक्के = 20
₹5 के सिक्के = 10
कुल सिक्के = 100 +50+20+ 10 = 180

प्रश्न 11: गोपी अपने जल – जीव कुंड के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमे 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिये निकलती है (देखिये आकृति 15.4)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

उत्तर 11:
नर मछली =5
मादा मछली =8
कुल मछली = 5+8 = 13


प्र. 12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?



उत्तर चूंकि विश्राम में आने पर तीर 1 से 8 तक की किसी भी संख्या को इंगित करता है। संभव परिणामों की संख्या = 8 (i) चूंकि चक्र पर 8 का एक अंक है। अंक 8 को इंगित करने की घटना के परिणामों की संख्या = 1 अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
i) 8 की आवृति =1
P(8) = 8 की आवृति / कुल संख्या=1/8
ii) कुल विषम संख्याएं (1,3,5,7)=4
P(एक विषम संख्या) =कुल विषम संख्या/ कुल संख्या=4/8 = 1/2
iii) कुल 2 से बड़ी संख्याएं (3,4,5,6,7,8)=6
P(2 से बड़ी संख्या) =कुल बड़ी संख्या/ कुल संख्या=6/8 = 3/4
iv) कुल 9 से छोटी संख्याएं (1,2,3,4,5,6,7,8)=8
P(9 से छोटी संख्या) =कुल 9 से छोटी संख्या/ कुल संख्या=8/8 = 1

प्रश्न 13: एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्न्लिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या

उत्तर 13: पासे को एक बार फेकने पर कुल परिणाम = 1, 2, 3, 4, 5,6
(i) अभाज्य संख्याएँ = 2,3,5
P(एक अभाज्य संख्या)=
कुल अभाज्य संख्याएँ कुल संख्याएँ =3/6 = 1/2
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = 3,4,5
P(2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या) =
2 और 6 के बीच स्थित कुल संख्याएँ / कुल संख्याएँ =3/6 = 1/2
(iii) विषम संख्याएँ = 1,3,5
P(एक विषम संख्या) =कुल विषम संख्याएँ /कुल संख्याएँ =3/6 = 1/2

प्रश्न 14: 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निन्लिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात तस्वीर वाला पत्ता (iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम

उत्तर 14: गड्डी में कुल पत्ते = 52
(i) लाल रंग के कुल बादशाह (1 पान का और 1 ईंट का) = 2
P(लाल रंग का बादशाह) =लाल रंग के कुल बादशाह/गड्डी में कुल पत्ते = 52/26=1/2 
(ii) तस्वीर वाले कुल पत्ते (3 पान के, 3 हुकुम के, 3 चिड़ी के और 3 ईंट के) = 12
P(तस्वीर वाला पत्ता) =तस्वीर वाले कुल पत्ते / गड्डी में कुल पत्ते = 12/52 =3/13 
(iii) लाल रंग के तस्वीर वाले कुल पत्ते (3 पान के और 3 ईंट के) =6
P(लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता) = लाल रंग के तस्वीर वाले कुल पत्ते / गड्डी में कुल पत्ते=6/52 =3/26
(iv) पान के कुल गुलाम = 1 

P(पान का गुलाम)=पान के कुल गुलाम/ गड्डी में कुल पत्ते=1/52
v) हुकुम वाले कुल पत्ते = 13
P(हुकुम का पत्ता) = हुकुम वाले कुल पत्ते/गड्डी में कुल पत्ते = 13/52 = 1/4
(vi) ईंट की बेगम वाले कुल पत्ते = 1
P(एक ईंट की बेगम) = ईंट की बेगम वाले कुल पत्ते /गड्डी में कुल पत्ते=1/52

प्रश्न 15: ताश के पाँच पत्तों – ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और एक्का- को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है? .
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?

उत्तर 15: कुल पत्ते (ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और एक्का ) = 5
(i) इन पाँच पत्तों में बेगम के कुल पत्ते = 1
P(एक बेगम वाला पत्ता) =बेगम के कुल पत्ते / कुल पत्ते=1/5
(ii) बेगम को अलग रखने पर कुल पत्ते = 4
(a) बेगम को अलग रखने पर, इक्के के कुल पत्ते = 1
P(एक इक्का ) =इक्के के कुल पत्ते/कुल पत्ते =1/5
(b) बेगम को अलग रखने पर, बेगम के कुल पत्ते = 0
P(एक बेगम)=बेगम के कुल पत्ते/ कुल पत्ते = 0/5 =0

प्रश्न 16: किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए। हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर 16: खराब पेन = 12, अच्छे पेन = 132, कुल पेन = 144
P(अच्छे पेन) =कुल अच्छे पेन / कुल  पेन =132 /144 =11/12

प्रश्न 17: (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा? (ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

उत्तर 17: खराब बल्ब =4 अच्छे बल्ब = 16 कुल बल्ब =20
कुल खराब बल्ब =4 
(i) P(खराब बल्ब) =कुल खराब बल्ब/कुल बल्ब = 4/20=1/5
(ii)यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है, खराब बल्ब =4 अच्छे (खराब नहीं) बल्ब = 15 कुल बल्ब = 19
P(खराब नहीं बल्ब) = कुल खराब नहीं बल्ब/कुल बल्ब=15/19

प्रश्न 18: एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी:
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक सख्या

उत्तर 18:
कुल संख्याएँ = 90
(i) दो अंकों की कुल संख्याएँ (10, 11, 12…90) = 81
P(दो अंकों की एक संख्या कुल संख्याएँ)=दो अंकों की कुल संख्याएँ/कुल संख्याएँ = 81/ 90 =9/10 
(ii) पूर्ण वर्ग की कुल संख्याएँ (1,4,9,16, 25,36, 49,64,81) = 9
P(एक पूर्ण वर्ग संख्या)=पूर्ण वर्ग की कुल संख्याएँ/कुल संख्याएँ =9/90=1/10
(iii) 5 से विभाज्य कुल संख्याएँ
(5, 10, 15, 20…90) = 18 P(5 से विभाज्य एक संख्या) = 5 से विभाज्य कुल संख्याएँ /कुल संख्याएँ = 18/90=1/5

प्रश्न 19: एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?

उत्तर 19: कुल अक्षर = 6 
(i) कुल अक्षर A= 2
P(A प्राप्त हो) = कुल अक्षर A/कुल अक्षर=2/6=1/3
(ii) कुल अक्षर D= 1
P(D प्राप्त हो) = कुल अक्षर D/कुल अक्षर=1/6

20. मान लीजिए आप एक पासे को आकर्ति 15.6″>15.6 मे दर्शाये आयताकार छेत्र मे यदच्छया रूप से गिराते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m”>1m व्यास वाले वृत के अंदर गिरेगा ?

उत्तर 20:
आयत का क्षेत्रफल = 3X2=6m2
वृत का क्षेत्रफल=Πr2=3.14 X (0.5)2 = 0.785m2

p(पासा व्यास वाले वृत के अंदर गिरेगा)=वृत का क्षेत्रफल / आयत का क्षेत्रफल = 0.785/6 = 0.13

प्रश्नावली 15.2

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